16. Polohové a metrické úlohy řešené analytickou metodou

1.	Přímka p je dána body A[2,3], B[-2,-5]. Napište její parametrické rovnice, obecnou rovnici, směrnicový a úsekový tvar.  {x= 2+t, y= 3+2t, ; 2x-y-1=0; y=2x-1;  }
2.	 Napište parametrické rovnice a obecnou rovnici přímky p, která prochází bodem  A[3;-1] a je a)  rovnoběžná s přímkou  ;
b)	kolmá k přímce  .  [ a)  x=3-3t, y=-1+2t, ; 2x+3y-3=0
                                                                    b)  x=3+t, y= -1-2t,  ; 2x+y-5=0 ]
3.	Napište obecnou rovnici roviny , ve které leží body  A[2;3;0], B[-1;2;2] a rovina je kolmá k rovině : 3x-2y+z+6=0.                                  [ x+3y+3z-11=0 ]
4.	Napište obecnou rovnici roviny, která je určena body  A[1;-3;-1], B[2;2;0], C[-4;5;5] a vypočítejte souřadnice průsečíků roviny s osami souřadnic.  { 2x-y+3z-2=0; [1;0;0],
                                                                                                                [0;-2;0], [0;0;2/3] }
5.	Napište obecnou rovnici roviny, která je kolmá k úsečce AB  a prochází jejím středem.   
      A[1;2;3], B[3;-2;-5]                                                                                   [x-2y-4z-6=0]                                                  
6    Určete vzájemnou polohu dvou přímek:  
                                                                       
7.	 Určete číslo a tak, aby přímka  ax-3ay+5=0  procházela průsečíkem přímek 
 p: 3x+2y-6=0,     q: 5x-7y+2=0                                                                          
8.	Rozhodněte o vzájemné poloze přímek:  
                               [    ne totožné   ]
9.	Napište rovnici přímky, která prochází bodem  A[1;-1;0]  a  je rovnoběžná s průsečnicí 
rovin    a .                       (q={[1+t, -1+2t, 3t] , t})                                                                                                 

10.	Určete patu kolmice vedené bodem  A[2;3;-1]  k rovině  
                                                                                                                               [P[3;2;-2]]
11.	Určete vzájemnou polohu přímek. V případě, že jsou různoběžné, určete jejich průsečík.
a)  p: 3x-6y+4=0 , q: -2x+y+3=0                                     ( různoběžné, )
b)  p: 2x-y+4=0 ,  q:  x=3+t, y=1-t,                        ( různoběžné,  P[0;4] )
12.	Zjistěte vzájemnou polohu přímek v prostoru, případně jejich průsečík
p:  x=1-t, y= 2+t, z= 3t,  t,      q:  x=-2+2s, y=5-2s, z= 9-6s, s  (rovnoběžné)
13.	Určete číslo  m tak, aby přímky  p,q  byly různoběžné a určete jejich průsečík
p:  x=m+2t, y=3t, z= 6-4t, t,       q:  x=5+s,  y=  1-4s,  z= -4+s, s
                                                                                                            ( m=-3, P[3;9;-6] )
14.	Je dána rovina    a přímka p:  x= 1-t, y= 2+2t, z= 4+3t, t.
a)	Určete vzájemnou polohu přímky a roviny, je-li přímka různoběžná určete průsečík.
b)	Napište rovnici přímky q, která je pravoúhlým průmětem přímky p do  roviny .
      {a) různoběžné, P[-1;6;10]            b) q: x=-1+16r, y=6-25r, z=10-43r, r}
15.	Určete vzájemnou polohu přímek    p:x=-2+3t, y = 1-t, z= 4+t, t 
q: x= 2+2s, y= -3+s, z= 5-3s, s                                                         (mimoběžné)

16.	Určete vzájemnou polohu rovin  . V případě, že jsou různoběžné, určete jejich průsečnici. a)  ,  .            {rovnoběžné }
b)	  ,     
                                                                      { průsečnice  p: x=3t, y = -2+2t, z=t, t }
17.	Jsou dány body  A[-2;2], B[6;8]. Bodem A veďte přímku p a bodem B veďte přímku q,
tak, aby přímky  p, q byly navzájem kolmé a jejich průsečík ležel na ose x.
                                                                                                { p:x+2y-2=0 ; q: 2x-y-4=0   }               
18.	Najděte rovnici přímky q, která prochází bodem A[-3;0] a má od přímky   odchylku  .                                  { x+3=0;   }
19.	Napište rovnici přímky p, která prochází bodem  A[1;2] a má od bodu  B[1;-1]  vzdálenost
       .                                                                                          {x-y+1=0 ,   x+y-3=0 }
20.	Napište rovnici přímky, která prochází bodem  A[-1;-1]  a s přímkou  p: 2x+3y-6=0  svírá
úhel .                                                                                         { 5x+y+6=0;  x-5y-4=0 }
21.	Vypočítejte vzdálenost  bodu  A[6;-6;5]  od  přímky  p: x=4, y=1-6t, z=4-6t, t .     [6]
22.	Určete velikosti výšek v trojúhelníku ABC: A[0;0], B[7;0], C[4;5]. 
                                                                                                              
23.	Vypočítejte výšku jehlanu, je-li  V[2;3;-1]  vrcholem a rovina podstavy je dána 
parametricky:  x=r+s, y= 1-r+s, z = -1+s,  r,s                            { v=1,6 }   
24.	Určete vzdálenost bodu  M[3;-1;4] od přímky AB, je-li  A[0;2;1], B[1;3;0].   {v=4,8}
25.	 Zjistěte, jaký úhel svírají přímky   a q: 2x-6=0.