1.	Množiny, základy výrokové logiky, důkazy v matematice
1.	Nakreslete Vennův diagram pro podmnožiny A,B,C  množiny U  a zakreslete všechny jejich prvky, jestliže ,   ,         ,      .
      a)  Zapište výčtem   
      b)  Pro které prvky platí: 
2.	Pomocí Vennových diagramů rozhodněte, zda pro všechny podmnožiny A,B,C dané základní množiny U  platí: a) 
b)	
c)	
3.	a) Je následující výroková formule tautologie?    
      b) Negujte výroky: A: Daná rovnice má alespoň 3 reálné kořeny
                               B: Nejvýše tři žáci dostali vyznamenání
                               C: Alespoň jeden žák řeší olympiádu
                               D: Každý den je důvod k radosti
4.	Trenér trénuje tři gymnasty A,B,C. Koho může poslat na závody, má-li splnit tyto podmínky: a) Na závody pojede nejméně jeden, nejvýše dva závodníci
                        b) Pojede A nebo C, určitě ne oba současně
                        c) Nepojede-li C, nepojede ani B
5.	Petr a Pavel čekají na A,B,C.  Petr: Přijde-li A a B, přijde i C.  Pavel: Když přijde A a nepřijde C, nepřijde ani B. Petr: Tvrdíme totéž. Je to pravda?
6.	V městečku se chystají tři akce. Asanace budov na náměstí, výstavba obchodního střediska, výstavba kulturního domu (A,S,K). Odbor výstavby má rozhodnout tak, aby splnil následující podmínky: a) Zahájí-li asanaci, nemůže začít s výstavbou střediska
	                                                     b) Může začít s K nebo s A, ale ne s oběma najednou
         c) Mají začít právě dvě akce.
                                    [bude se stavět středisko a kulturní dům]
7.	Dopravní kontrola zjišťovala technický stav brzd a řízení. Za neuspokojivý stav řízení dala pokutu 15 řidičům z kontrolovaných 53 řidičů. Za ne právě nejlepší stav ručních brzd bylo pokutováno 12 řidičů. Ze všech kontrolovaných bylo 30 v pořádku. Určete, kolik řidičů zaplatilo pokutu jen za brzdy, jen za řízení a za brzdy a řízení zároveň.
                                                                                   [brzdy a řízení 4, jen brzy 8, jen řízení 11]
8.	Dokažte: a) 
                     b) 
c)  
                    d) Moivreovu větu  
                    e) 
f)   Vztah pro n-tý člen aritmet. posloupnosti 
g)	Vzorec pro součet   prvních n členů geom. posl. 
h)	
i)	

9.	Posloupnost je dána rekurentně: =3, . Ověřte matematickou indukcí vzorec pro její n-tý člen:  .
10.	Některý z žáků A,B,C rozbil okno. Je zjištěno, že v té době nebyl u okna žák A nebo u něho nebyl žák B. Když B nebyl u okna, nebyl tam ani A. Žák C byl u okna, právě tehdy, když u něho nebyl žák A. Lze určit pachatele jednoznačně v případě, že byl právě jeden? Kdo rozbil okno?                                                                [ okno rozbil C]
11.	Jana se chystá na maturitní ples. Právě proběhla porada o doplňcích k šatům. První teta radí: Doporučuji brož nebo náhrdelník. Druhá teta: Nejlépe by bylo vzít si náramek nebo brož. Matka: Já jsem pro náhrdelník nebo náramek. Jana se na plese objevila s náramkem, náhrdelníkem i broží, protože chtěla splnit všechna jejich přání. Musela si vzít všechny tři doplňky, aby všem vyhověla?                                                                               [ano]
12.	 Někdo z podezřelých A, B, C v galerii odcizil obraz.  Tři svědci události pravdivě     vypověděli toto:
           a)  Podezřelý C byl v galerii právě tehdy, když tam nebyl žádný z dvojice A, B.
           b) V galerii nebyl podezřelý C nebo nebyla pravda, že tam byl aspoň jeden z dvojice
                A, C.
           c)  Jestliže není pravda, že v galerii byl podezřelý A současně s B, pak tam byl 
                podezřelý C
            Kdo je nevinen?                                                [nevinný je C, obraz odnesl A nebo B]
13.	 Jsou dány množiny . Zapiš tyto množiny jako
       intervaly a urči:a)    b)  c)     d)      e)     f), 
       kde     značí doplněk X v množině Z.
14.	Dva svatební svědci objednávají v květinářství svatební kytici. Prodavačka: Máme bílé, červené i růžové karafiáty. Doporučuji kytici z bílých  karafiátů. První svědek: Nejkrásnější kytice je taková, v níž jsou karafiáty růžové, nesmí v ní být, ale žádný červený karafiát;  nebo by se mi líbila kytice, v níž jsou červené karafiáty, ale nebude ani jeden bílý.  Druhý svědek: Nejlépe by se mi líbila kytice, v níž by byly bílé karafiáty a přitom žádný červený. Nebo by to mohla být kytice, v níž jsou červené karafiáty, ala nesmí v ní být ani jeden růžový. Prodavačka připravila kytici červených karafiátů. Vyhověla přání aspoň jednoho svědka?  Mohla připravit jinou kytici a přitom splnit požadavky obou svědků?
15.	Do města Kocourkova pronikl turistický ruch. Městská rada projednávala, co v městě postaví. Byly předloženy návrhy: vybudovat kašnu, postavit pomník, vystavět vyhlídkovou věž. Radní se dohodli realizovat nejvýše dva z předložených návrhů.  První radní: „ Nebudu souhlasit s  rozhodnutím stavět  pomník a nestavět vyhlídkovou věž.“  Druhý radní:“ Budu protestovat, kdybychom  stavěli kašnu a nepostavili pomník.“  Třetí radní:“ Mně by nevyhovovalo řešení, kdyby stála vyhlídková věž a chyběla kašna.“  Městská rada rozhodla, že všem třem radním je třeba vyhovět. Co v Kocourkově postaví?                                                                                             [nic]
16.	Ze 129 studentů chodí pravidelně do menzy na oběd nebo večeři 116 studentů, 62 studentů dochází na nejvýše jedno z těchto jídel. Přitom na obědy chodí o 47 studentů více než na večeři. Kolik studentů chodí na obědy i večeře, kolik na večeře, kolik jenom na obědy?                                            [obědy a večeře=67, obědy=48, večeře=1]
17.	V kartézské soustavě souřadnic v prostoru jsou dány body . Dokažte sporem i přímo, že tyto body jsou vrcholy trojúhelníku.
18.	Kolmice sestrojená v bodě  A k poloměru SA neprotne kružnici   v dalším bodě. Dokažte sporem.
19.	Nechť přímka q prochází bodem A kružnice k(S, SA). Jestliže  q je kolmá k SA  , pak každý bod   přímky q je vnějším bodem kružnice. Dokažte přímo.